1: 2018/09/15(土) 13:40:29.34 ID:CAP_USER
 慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔(博士課程 3 年)と松村英樹(博士課程 2 年)は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか?という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

 本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています(すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました)。

 
1.本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
 

2.研究背景
 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか?』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか?』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

 これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』(>>1、2)という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

続きはソースで

https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png

<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675

images


引用元: 【数学】世界に1つだけの三角形の組 -抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学[09/12]

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7: 2018/09/15(土) 13:52:14.32 ID:/gJ1Q9Qh
定理を発見して、すぐに証明できたら価値はない。
発見してから100年ぐらいでやっと証明できるようなのが価値あり。

9: 2018/09/15(土) 13:59:20.60 ID:lUKhVtDz
「辺の長さが全て整数になる」にちょっと引っかかるね。
「辺の長さの比が整数になる」くらいにしてくれんかな。
簡単に表現するのが難しいのは分かるけど。

ところで、その組の一例くらい見せてくれてもいいのに。

89: 2018/09/15(土) 19:12:03.67 ID:L0zoALaR
>>9
「比が整数になる」って余計に謎定義になるじゃないか

98: 2018/09/15(土) 20:30:31.04 ID:+ce+Qlcz
>>89
んじゃ「三辺の長さの比が整数比になる」でいいんじゃね?

11: 2018/09/15(土) 14:08:26.84 ID:rK+uP5kz
珍しく多少話しがつうじる数学だな

たいていは1行目からわけわからんのだが

12: 2018/09/15(土) 14:11:25.84 ID:Zsm3VPXQ
振動の束縛状態に記述可能ですかあ

16: 2018/09/15(土) 14:22:12.88 ID:ggXHMXaF
これまで知られていなかったのに「定理」って、なんだい?

108: 2018/09/15(土) 21:36:10.56 ID:7uXX0sbY
>>16
絶対的に正しいと証明されてるもののことを「定理」って呼ぶので、
知られてるかどうかは関係無い。

まぁ数学の概念だよ。
物理学とか天文学みたいに自然科学の場合はまず使わない。

17: 2018/09/15(土) 14:24:43.07 ID:yiXhjyzd
それを見せずに証明と言ってもね
他に転用できるとか秘匿したいにしても黄金率のようなものとも素数とも
いえる3点を前提したものだろうけどその整数が1個だけならそれを提示しろと思うよな

23: 2018/09/15(土) 14:33:31.28 ID:afQ8UsJ5
>>1
文系と違って、理系はときどきこういうオンリーワンな成果を上げるよね
文系の、特に文学部、経済学部、社会学部系は大リストラすべき

27: 2018/09/15(土) 14:36:04.64 ID:fU9OcAxV
>>23
数学のこういうクソどうでもいいのは文学部の研究より社会的意義が劣る

120: 2018/09/15(土) 22:58:55.92 ID:VZ+n3enI
>>27
社会的意義?より遥かに高尚なレベルな気がするんだけどなぁ
この世界で功利的に生き抜くネタにはならないよね確かにもっと低俗で俗世てきなモノじゃないと
俗人の欲望には大抵叶わないから

45: 2018/09/15(土) 15:29:08.46 ID:F7m+M5P0
>>23
リストラの前に、入試で数学必須にすれば少し変わると思う。

24: 2018/09/15(土) 14:33:40.26 ID:B1osxZJR
辺の長さが全部整数な直角三角形っていくらでもあるんじゃないの
ないの?

80: 2018/09/15(土) 18:28:28.46 ID:S09K8zNW
>>24
※ 相似を除いて

91: 2018/09/15(土) 19:14:13.03 ID:L0zoALaR
>>24
細長く引き伸ばしていけばいくらでも増やせるよな

29: 2018/09/15(土) 14:39:29.69 ID:B1osxZJR
まぁ正直個人が趣味でやるレベルのどうでもよさではあるよなw
でも古代ギリシア時代から研究されてるってロマンがあるだろ
ロマンは必要だよ

32: 2018/09/15(土) 15:01:59.61 ID:T7AJy9zu
>>1を読めない人間が多すぎるだろw
整数の直角三角形と整数の二等辺三角形の組で
相似形を除けば、周りの長さと面積が両方一致する組が一つしかないことを証明したんだろ
その組が>>1の画像で示されてるのに、1つしかないなら例を出せという輩までいるしw

34: 2018/09/15(土) 15:10:49.07 ID:F7Cd9cKC
こういうのを博士課程の学生が発表するのがすごいな

37: 2018/09/15(土) 15:15:44.77 ID:rchFHhGu
数学全然わかんないんだけど
全部を倍数にしたら同じものが出来上がるんじゃないの?

40: 2018/09/15(土) 15:18:13.88 ID:B1osxZJR
>>37
それは相似形で
相似形は除くってなってる

38: 2018/09/15(土) 15:17:32.64 ID:iFv0smoj
たった一組しか存在しない
それもどの場合でも

証明むずかしすぎるわ
ようやったな

41: 2018/09/15(土) 15:19:17.47 ID:I+A0p4Bf
フィールズ賞やってくれ。

42: 2018/09/15(土) 15:20:48.85 ID:gBuFhTmQ
3,4,5と外周の長さが同じ二等辺三角形は4,4,4と5,5,2しかないがどちらも面積は違うぞ?

174: 2018/09/16(日) 14:05:07.56 ID:7Dx6tSHR
>>42
「a、b、cの整数の長さの三辺を持つ直角三角形」と同じ外周及び面積を持つ三辺が整数である二等辺三角形が存在するのは
a=377
b=352
c=135
のときと、それの相似形のときだけである、ということ。


上記の直角三角形以外のいかなる「三辺が整数である直角三角形」も、同じ外周及び面積を持つ三辺が整数である二等辺三角形は存在しない。

49: 2018/09/15(土) 15:45:09.96 ID:AkQ+LgXt
そもそも整数ってなんだろね

182: 2018/09/16(日) 19:25:22.36 ID:P/inMWlg
>>49
この宇宙の物理法則では、整数は非常に自己主張が激しくて
そこら中に顔を出して重要な役割を担っている。

もしも仮に整数が整数以外に比べて全く自己主張しないような
物理法則の宇宙があったとしたら、どんな世界だろうな。
そもそもそういう世界は自己矛盾をすることなく存在が可能かどうか。

55: 2018/09/15(土) 16:01:29.35 ID:AopL1YPd
これって
・1つは知られてたけどその1つしかないことを証明した
・そもそもその問題を思いついた人がいなかった

どっち?

57: 2018/09/15(土) 16:02:51.42 ID:1O7gJW2p
三角形無敵だな 小学生でも内容が
理解出る、新定理おめでとう。

58: 2018/09/15(土) 16:08:52.62 ID:fBGyefnW
おー
これはうれしいだろうね見つけた人