1: 2020/10/24(土) 16:35:57.14 _USER
数学史上もっともたくさんの論文を書いた天才が見つけた美しい定理
■オイラーの等式で有名なオイラーって?
みなさんは、オイラーという数学者をご存知でしょうか?
レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler、1707-1783)は18世紀の数学者で、解析学、幾何学、整数論をはじめ、多くの分野に業績を残しました。
数学史上、もっとも論文を書いた数学者としても知られています。
没後100年以上経った1911年より全集が刊行されましたが、刊行開始後100年以上経った現在でも、いまだに全集は完結していません。
それほど多くの論文を残したのです。
晩年、目が見えなくなった後も、口述筆記によって数多くの論文を残したと伝わっています。
多くの人が「オイラー」という名前を聞いたことがあるのは、「オイラーの公式」「オイラーの等式」ではないでしょうか。
これらの数式は、数学全体の中でも有名な数式で、多くの人に知られています。
つぎのように、オイラーの公式は、指数関数と三角関数の間に成立する数式です。
e^iθ=cosθ + i sinθ
ここで、eはネイピアの数、iは虚数単位、πは円周率です。とくにθ=πの場合、
e^iπ + 1 = 0
となり、オイラーの等式と呼ばれています。
ネイピアの数e、虚数単位i、円周率π、そして数の基本の0と1、この5つの数に間に成り立つ数式として見ることもできます。
(以下略、続きはソースでご確認下さい)
現代ビジネス 10/24(土) 11:01
https://news.yahoo.co.jp/articles/90494f9c237c5cbc33af79b8501d50bafaf9be04
■オイラーの等式で有名なオイラーって?
みなさんは、オイラーという数学者をご存知でしょうか?
レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler、1707-1783)は18世紀の数学者で、解析学、幾何学、整数論をはじめ、多くの分野に業績を残しました。
数学史上、もっとも論文を書いた数学者としても知られています。
没後100年以上経った1911年より全集が刊行されましたが、刊行開始後100年以上経った現在でも、いまだに全集は完結していません。
それほど多くの論文を残したのです。
晩年、目が見えなくなった後も、口述筆記によって数多くの論文を残したと伝わっています。
多くの人が「オイラー」という名前を聞いたことがあるのは、「オイラーの公式」「オイラーの等式」ではないでしょうか。
これらの数式は、数学全体の中でも有名な数式で、多くの人に知られています。
つぎのように、オイラーの公式は、指数関数と三角関数の間に成立する数式です。
e^iθ=cosθ + i sinθ
ここで、eはネイピアの数、iは虚数単位、πは円周率です。とくにθ=πの場合、
e^iπ + 1 = 0
となり、オイラーの等式と呼ばれています。
ネイピアの数e、虚数単位i、円周率π、そして数の基本の0と1、この5つの数に間に成り立つ数式として見ることもできます。
(以下略、続きはソースでご確認下さい)
現代ビジネス 10/24(土) 11:01
https://news.yahoo.co.jp/articles/90494f9c237c5cbc33af79b8501d50bafaf9be04
32: 2020/10/24(土) 19:33:32.42
>>1
世にも美しい式
e^i(°)(°) + 1 = 0
世にも美しい式
e^i(°)(°) + 1 = 0
55: 2020/10/25(日) 00:37:02.97
>>1
オイラーの公式を少し持ち上げ過ぎ。
美しさを説明するのはいいことだが、
世界一美しいとかはオーバーだ。
美しさと同時に函数論の入口で
習う初等的かつ基本的な公式で
あることもコメントした方がいい。
そうしないとその先を勉強しなくなる。
このレベルで足踏みするのは、
余りにも残念過ぎる。
オイラーの公式を少し持ち上げ過ぎ。
美しさを説明するのはいいことだが、
世界一美しいとかはオーバーだ。
美しさと同時に函数論の入口で
習う初等的かつ基本的な公式で
あることもコメントした方がいい。
そうしないとその先を勉強しなくなる。
このレベルで足踏みするのは、
余りにも残念過ぎる。
112: 2020/10/25(日) 15:43:35.96
>>55
世界一美しいと言ったら何故足踏みすることになるのか意味不明過ぎる
勝手に決めつけないように
世界一美しいと言ったら何故足踏みすることになるのか意味不明過ぎる
勝手に決めつけないように
113: 2020/10/25(日) 15:52:36.91
>>112
学生に函数論を教えたことないだろう。
教えると意味がわかる。
学生に函数論を教えたことないだろう。
教えると意味がわかる。
2: 2020/10/24(土) 16:40:00.11
オイラにはチンプンカンプン
3: 2020/10/24(土) 16:44:40.42
歴史上最高の数学者は誰かとの問いに
多くの数学者はオイラーと答えるらしい
多くの数学者はオイラーと答えるらしい
23: 2020/10/24(土) 18:39:21.71
>>3
発表した数式の有意義さとか独創性とかよく分からない素人でも有名どころの数学者の人生と逸話を知って比べればオイラーでいいかなって思う
発表した数式の有意義さとか独創性とかよく分からない素人でも有名どころの数学者の人生と逸話を知って比べればオイラーでいいかなって思う
52: 2020/10/25(日) 00:04:54.93
>>23
オイラーなんて一般人はほとんど知らんだろ
逸話の質と量ともにガウスの方が上
おいらならオイラーに1票いれますね
素数とπの関係がかっこ良すぎです
オイラーなんて一般人はほとんど知らんだろ
逸話の質と量ともにガウスの方が上
おいらならオイラーに1票いれますね
素数とπの関係がかっこ良すぎです
58: 2020/10/25(日) 00:43:25.39
>>52
ガウスの5次方程式の解の公式がない理屈が、群論だったような…。
つまり、それまでは解の公式を手探りで探っていたが、群論では存在するか否か?
で、群論的な存在の議論では、係数の個数と解の個数で、その間に一意的な写像が存在するかの議論だけで済む。
ガウスの5次方程式の解の公式がない理屈が、群論だったような…。
つまり、それまでは解の公式を手探りで探っていたが、群論では存在するか否か?
で、群論的な存在の議論では、係数の個数と解の個数で、その間に一意的な写像が存在するかの議論だけで済む。
27: 2020/10/24(土) 19:17:02.79
>>3
ダジャレ・・・なんだよな?
ダジャレ・・・なんだよな?
119: 2020/10/25(日) 19:04:25.06
>>3
それは数学者の年齢や出身地によるだろうな
それは数学者の年齢や出身地によるだろうな
121: 2020/10/25(日) 19:31:20.00
>>3
いや・・・たぶんそれはオイラーじゃなくてオイラと答えたんじゃないかなw
いや・・・たぶんそれはオイラーじゃなくてオイラと答えたんじゃないかなw
4: 2020/10/24(土) 16:48:50.19
複素平面という海原を半時計半円状に航行する船の動きが、EXP(iπ) = -1 のイメージ
6: 2020/10/24(土) 16:56:32.24
ラマヌジャンをブン殴りたい数学者とか多そう
8: 2020/10/24(土) 17:07:18.46
オイラーの公式はc i s と覚えると良い
12: 2020/10/24(土) 17:21:02.39
> そして数の基本の0と1
いや、そこのこだわりをもっと理解しろよ。
いや、そこのこだわりをもっと理解しろよ。
13: 2020/10/24(土) 17:21:15.02
宇宙の法則を導き出したのも数学者だからな
「宇宙を表す法則はシンプルで美しいものに決まっている」という仮定から導いてしまったという
「宇宙を表す法則はシンプルで美しいものに決まっている」という仮定から導いてしまったという
15: 2020/10/24(土) 17:34:49.26
日本語が不自由に方の説明だと難解です
16: 2020/10/24(土) 17:35:38.88
オイラーの定理は電気工学の交流理論で必須。
純粋科学の応用はその時点では誰にも予想できない。
純粋科学の応用はその時点では誰にも予想できない。
17: 2020/10/24(土) 17:41:55.31
数学の美しさとは、具体性が薄いこと、抽象性が高いこと。
人の知的な記憶理解は具体性が高いことが重要で、抽象性が極限に高いほど
理解するのは不可能になる。
人の知的な記憶理解は具体性が高いことが重要で、抽象性が極限に高いほど
理解するのは不可能になる。
19: 2020/10/24(土) 17:56:54.62
>>17
ガロアの定理の素数次数の既約方程式が根号だけで解けるための必要十分条件・・・
も簡明で感動する。
通信工学の暗号化や誤り検出で必須の理論だが、ガロアは通信の応用を目的で
理論を開拓したわけではないことも学問の奥深さ。
工学部なので実用に応用された数学しか勉強したことがないが。
ガロアの定理の素数次数の既約方程式が根号だけで解けるための必要十分条件・・・
も簡明で感動する。
通信工学の暗号化や誤り検出で必須の理論だが、ガロアは通信の応用を目的で
理論を開拓したわけではないことも学問の奥深さ。
工学部なので実用に応用された数学しか勉強したことがないが。
18: 2020/10/24(土) 17:44:05.60
三角関数はわかる、虚数もわかる。でも、指数関数は非常に人工的な関数に見えて
その重要性がよくわからなかったりしたのだが、オイラーの公式でそれらすべてが
一つとなるのには感動したな。オレの座学における最大の感動はオイラーの公式だわ
その重要性がよくわからなかったりしたのだが、オイラーの公式でそれらすべてが
一つとなるのには感動したな。オレの座学における最大の感動はオイラーの公式だわ
20: 2020/10/24(土) 17:59:17.25
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+…=(Pi^2)/6
彼よりIQの高いのは日本や中国にはたくさんいるがこういう発見はできないんだよな
彼よりIQの高いのは日本や中国にはたくさんいるがこういう発見はできないんだよな
21: 2020/10/24(土) 18:00:07.61
計算魔だよな
いまの論文とは随分違う
いまの論文とは随分違う
26: 2020/10/24(土) 18:51:35.80
>>21
4色問題もゴリ押しだけどなw
4色問題もゴリ押しだけどなw
22: 2020/10/24(土) 18:17:56.87
「オイラーの贈物」は大学1年次に読んでおくべき
数式も容赦なく出てくるが一気に読める不思議な本
再読、再々読してもまったく飽きない
数式も容赦なく出てくるが一気に読める不思議な本
再読、再々読してもまったく飽きない
24: 2020/10/24(土) 18:40:30.07
『音楽は感覚の数学であり、数学は理性の音楽である。』
25: 2020/10/24(土) 18:46:19.28
複素数ってほんと便利だよなあ
28: 2020/10/24(土) 19:19:02.94
まぁガウス派もそこそこいると思うの
29: 2020/10/24(土) 19:19:11.29
ゴールドバッハの予想
4以上の偶数は2つの素数の和で表せる。
4以上の偶数は2つの素数の和で表せる。
30: 2020/10/24(土) 19:21:20.64
オレも昔、オイラーの公式を学んだ時には感激したよ。
オイラーの公式が意味するのはこの世界に重なる「見る事も触る事も出来ない世界が何重にも存在する」という事なんだ。
その一つが電磁波の世界だし、重力の世界だし、物質波の世界だ。
オイラーの公式は「掛け算」や「積分」が実は「足し算」だと教えてくれる。
オイラーの公式が意味するのはこの世界に重なる「見る事も触る事も出来ない世界が何重にも存在する」という事なんだ。
その一つが電磁波の世界だし、重力の世界だし、物質波の世界だ。
オイラーの公式は「掛け算」や「積分」が実は「足し算」だと教えてくれる。
36: 2020/10/24(土) 20:42:37.66
>>30
美しいだけでなく、波動関数のexpの中に虚数があるから、量子化学,量子物理で誰もがお世話になっている実用的な式だよな
美しいだけでなく、波動関数のexpの中に虚数があるから、量子化学,量子物理で誰もがお世話になっている実用的な式だよな
56: 2020/10/25(日) 00:39:32.43
>>30
積分は、基本的に連続体の上に定義される。
足し算は、離散集合の上にも定義できる。
連続体を人間は理解できない。
それが、カントール集合の議論に表れている。
積分は、基本的に連続体の上に定義される。
足し算は、離散集合の上にも定義できる。
連続体を人間は理解できない。
それが、カントール集合の議論に表れている。
60: 2020/10/25(日) 00:50:21.50
>>30
ラヌマジャンも同様だろう。
彼の無限級数の公式は、ほとんどが離散集合上に定義できそうな物ばかりだ。
ラヌマジャンも同様だろう。
彼の無限級数の公式は、ほとんどが離散集合上に定義できそうな物ばかりだ。
59: 2020/10/25(日) 00:48:08.18
>>30
恐らくオイラーの驚異的な業績は、連続体上の計算を徹底排除したことに拠ると思う。
つまり、人間が理解できる離散集合上の計算だけに徹底した。
恐らくオイラーの驚異的な業績は、連続体上の計算を徹底排除したことに拠ると思う。
つまり、人間が理解できる離散集合上の計算だけに徹底した。
67: 2020/10/25(日) 01:08:31.35
>>59
徹底したというよりアルナシの基本形をこいつがやった
他の学者もやれただろうけど飯の種は減ったな
徹底したというよりアルナシの基本形をこいつがやった
他の学者もやれただろうけど飯の種は減ったな
33: 2020/10/24(土) 20:04:11.03
こういうスレって伸びないけど、内容が非常に濃くて参考になるな。
40: 2020/10/24(土) 21:51:08.94
ドナルドソンの定理
美しい定理かどうかは人それぞれ(YM方程式を美しいと感じられるなら美しい定理)だが
その主張と証明のされ方はぶち抜きで画期的過ぎる
美しい定理かどうかは人それぞれ(YM方程式を美しいと感じられるなら美しい定理)だが
その主張と証明のされ方はぶち抜きで画期的過ぎる
41: 2020/10/24(土) 22:10:01.06
博士の愛した数式で使われてたやつだよね
虚数から理解できない俺からしたら全く意味不明
虚数から理解できない俺からしたら全く意味不明
42: 2020/10/24(土) 22:12:39.63
マクローリン展開の方から持ってくるという証明
47: 2020/10/24(土) 23:07:32.03
オイラーの公式があれば加法定理を覚えなくていいんだよなw
48: 2020/10/24(土) 23:20:37.38
オイラーが史上最高の数学者であるかどうかは私にはわかりませんが
オイラーの数学が実に見事に美しいというのはわかります。
本当に美しい、こんな数学を奏でられる数学者が今後出てくるのは、おおいに疑問です。
オイラーの数学が実に見事に美しいというのはわかります。
本当に美しい、こんな数学を奏でられる数学者が今後出てくるのは、おおいに疑問です。
61: 2020/10/25(日) 00:54:52.95
連続体の気持ち悪いところは、ワイエルシュトラス関数にも表れている。
65: 2020/10/25(日) 01:01:23.32
どこぞの大学だと
e^iπ = -1
だけどしっかりとe^iπ + 1 = 0
と書かない教授とは書かないとかうざい
e^iπ = -1
だけどしっかりとe^iπ + 1 = 0
と書かない教授とは書かないとかうざい
66: 2020/10/25(日) 01:03:07.63
>>65
符号が見える方が「全部盛り感」があるだろうが
符号が見える方が「全部盛り感」があるだろうが
68: 2020/10/25(日) 01:09:58.53
>>66
0だって符号ですよ
0だって符号ですよ
95: 2020/10/25(日) 05:20:58.35
>>65
工学部なら前者、理学部数学科なら後者を書く気がする
工学部なら前者、理学部数学科なら後者を書く気がする
70: 2020/10/25(日) 01:46:48.61
離散集合上というのがよくわからん
次元が異なっているだけでしょ
次元が異なっているだけでしょ
72: 2020/10/25(日) 02:28:39.53
オイラー自体はこの公式をそんなには重視してなかったはず
73: 2020/10/25(日) 02:40:35.78
異なった概念をつなげるためには、
両者にマイナスとマイナスのような関係を掛け合わせる必要があるのでしょう
この場合だとeとπという超越数ですが
だからe^iπは見事な連続体なのです
両者にマイナスとマイナスのような関係を掛け合わせる必要があるのでしょう
この場合だとeとπという超越数ですが
だからe^iπは見事な連続体なのです
75: 2020/10/25(日) 02:49:56.05
三角関数が大嫌いで分解した表現を見せられても未だに意味わからん
だいたい比で表現しているということが直感的じゃない
だいたい比で表現しているということが直感的じゃない
76: 2020/10/25(日) 02:58:13.86
iが指数に絡んでいることから、
これが「こと」に関する円周上の可能性のすべてを表現していることはわかる
しかし元のeが何を意味するかの解釈が難しい
これが「こと」に関する円周上の可能性のすべてを表現していることはわかる
しかし元のeが何を意味するかの解釈が難しい
77: 2020/10/25(日) 03:01:34.33
何らかの発生源率がどうして存在としての1に収まるのか
普通は発散するはずがπが絡むとそうならないという不思議
普通は発散するはずがπが絡むとそうならないという不思議
78: 2020/10/25(日) 03:06:20.69
だいたい円周上というのが視覚のトリックで、
それは正方形の面積のようには有限じゃない
円の面積はある意味、無限的にあるはず
それはただ、大と小に比べられるような、それなんだ
それは正方形の面積のようには有限じゃない
円の面積はある意味、無限的にあるはず
それはただ、大と小に比べられるような、それなんだ
80: 2020/10/25(日) 03:09:30.12
複素平面が表現している点とは、
「こと」と「もの」が絡んでいるような、「事態」を意味しているに他ならない
「こと」と「もの」が絡んでいるような、「事態」を意味しているに他ならない
81: 2020/10/25(日) 03:10:06.87
漁師力学の授業でバンバン出てくるな。
波動方程式とか。
波動方程式とか。
96: 2020/10/25(日) 05:35:04.66
NHKの素数の番組で聞いた名前だ
97: 2020/10/25(日) 05:38:57.53
オイラーはプロの数学者(大学の先生)では無かったよな?
数学の好事家で晩年はロシアの宮廷に招かれたんじゃなかった?
研究は楽しかったんだろな!
数学の好事家で晩年はロシアの宮廷に招かれたんじゃなかった?
研究は楽しかったんだろな!
109: 2020/10/25(日) 12:49:18.35
>>97
オイラーの公式は無限級数で遊んでたら思いついたんだっけ
オイラーの公式は無限級数で遊んでたら思いついたんだっけ
100: 2020/10/25(日) 07:55:36.53
画像処理から入った人間からすると、この式は高速フーリエ変換のところで回転演算子として習うので、
特に美しいとも思わんけどな。
特に美しいとも思わんけどな。
101: 2020/10/25(日) 08:24:08.49
>>100
確かその前に数学として習うだろ 大学の理系なら
いずれにせよ
「三角関数は高校の教科書で半ば意義不明瞭のまま強引に教えられるので、
後で数学物理工学のあちこちで(それこそこの式にせよ)大量に出てくるがその重要性を感じない」
意味がわからん
確かその前に数学として習うだろ 大学の理系なら
いずれにせよ
「三角関数は高校の教科書で半ば意義不明瞭のまま強引に教えられるので、
後で数学物理工学のあちこちで(それこそこの式にせよ)大量に出てくるがその重要性を感じない」
意味がわからん
102: 2020/10/25(日) 08:50:23.60
円周率が6.28なら
e^iπ = 1
ともっと美しくなれたのだが・・
e^iπ = 1
ともっと美しくなれたのだが・・
114: 2020/10/25(日) 16:41:13.48
複素解析で留数定理とか解析接続にたまげたなぁ
115: 2020/10/25(日) 16:52:08.53
ほーんなるほどね、うんうん理解したわ
123: 2020/10/25(日) 20:06:23.41
素数のなかに円周率を発見したんだっけ? イカレてるよな ぶっ飛んだ天才だぜ
125: 2020/10/25(日) 20:30:39.93
物理数学のジャンルでは「オイラーの定理」が氾濫してるぞ。
だれかまとめサイトを作っとけよな
だれかまとめサイトを作っとけよな
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