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数学

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1: 2019/03/14(木) 00:19:51.90 ID:CAP_USER
四角柱がねじれたようにつながる「ペンローズの四角形」、永遠に登り続けるように見える「無限階段」──「不可能図形」と呼ばれる、現実にはありえないと思われていた図形を、数学の力で現実に作り出した研究者がいる。


※鏡に映すと形が変わる「変身立体」の一種
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/ki_1609376_sakushi01.jpg

 明治大学先端数理科学インスティテュート所長の杉原厚吉特任教授は、2009年に同大に着任して以来、無限階段のような「だまし絵」の立体化の他、鏡に写すと姿が変わる「変身立体」、180度回転させても逆方向を向かない「右を向きたがる矢印」など、現実にはありえないような「不可能立体」を生み出し、話題を呼んできた。


>>180度回転させても逆方向を向かない「右を向きたがる矢印」
Sugihara2016 https://youtu.be/Vwjkzl1G_vI



 杉原教授は3月に明治大を退官するに当たり、12日に最終講座を行った。10年間の錯視研究で、「タネ明かしをしても脳は錯覚を修正できないこと」と「両目で見ても錯覚は起こる場合があること」に衝撃を受け、その上で1つの疑問が浮かんだと話す。

■「非直角を直角に見せる」新たな立体トリックを考案

 ペンローズの四角形に見える立体を作ったのは、杉原教授が初めてではない。従来も、実際にはつながっていない四角柱をつながっているように見せかける「不連続のトリック」や、四角柱を曲げてつながった立体を作る「曲面のトリック」といった立体化があったが、杉原教授は「直角に見えるところに直角以外の角度を使う」という方法を取った。

 非直角のアプローチでは、四角柱は曲がらず、不連続にもならない。


※従来の「曲面のトリック」によるペンローズの四角形と、杉原教授考案の「非直角のトリック」によるペンローズの四角形
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/ki_1609376_sakushi03.jpg
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/ki_1609376_sakushi04.jpg

 教授は、不可能立体を作るために数学的な方程式を解いているという。「絵には奥行き情報がないから、絵と同じように見える立体はたくさんある」(同)。無数にあり得る立体の中から、人の脳は無意識のうちに「これだ」と決めつけ「現実には作れない」と考えるが、方程式に解があれば、その立体は作れるというのが杉原教授の理論だ。


※杉原教授は不可能立体を「方程式を解いて見つける」という
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/ki_1609376_sakushi05.jpg

※絵から導かれる無数の立体の中から、脳は直角の多い立体を探してしまう
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/ki_1609376_sakushi06.jpg

ITmedia NEWS
https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1903/13/news109.html

続きはソースで


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引用元: 【数学】四角が丸に、魚が蝶に──“不可能立体”研究10年、杉原教授が導き出した「錯視の方程式」[03/13]

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1: 2019/02/23(土) 11:48:19.54 ID:CAP_USER
誰も脳の配線図を理解していなかったが、コネクトームと呼ばれる脳の構造を代数的位相幾何学で理解できることが判明した。

人間のコネクトーム(白質の構造で基本的には脳の配線図といってよい)は、脳の異なる部分間をつなぐリンクのネットワークだ。リンクは、灰白質を構成する神経細胞体を接続する神経細胞「軸索」の突起の束である脳の白質によって図式化する。

脳に関する従来の見解では、灰白質が主に情報処理や認知に関与し、白質は脳の異なる部分間で情報を送信している、とされてきた。

白質の構造はあまり理解されてないが、いくつかの高度なプロジェクトによる研究で、コネクトームは当初考えられていたよりもずっと複雑だとわかってきた。人間の脳には、1014のシナプス結合で接続された1010ものニューロンがある。リンク同士の接続を図式化するのはもともと難しい上に、ネットワーク構造が画像解像度に依存するので、さらに難しくなっている。

構造を研究することで、白質は学習や脳の活動調整で重要な役割を果たしている証拠も出てきた。しかし、この役割が構造にどう結び付いているかは正確にはわからない。
https://www.technologyreview.jp/wp-content/uploads/sites/2/2016/08/neural-cycles.jpg

したがって、白質の構造をさまざまなスケールで理解することは神経科学の大きな課題である一方、適切な数学的ツールの欠如が、研究の進展を妨げていた。

しかし今日、この状況は代数的位相幾何学のおかげで変わろうとしている。神経学の研究者が徐々にだが初めて、代数的位相幾何学の価値を理解し始めている。従来、代数的位相幾何学は、空間や形状を分類するための「数学的な探求」だったが、ペンシルベニア大学のアン・サイズモア研究員(準計算機生物学者)などによるチームは、代数的位相幾何学がどのようにコネクトームの理解に革命をもたらすかを示した。

学問的探求において、代数的位相幾何学者は、異なるスケールで位相空間での対称性を見つけるという、試練を設定する。

数学において、対称性とは、視点を変更しても不変であることだ。たとえば正方形は90度回転しても形状が変わらない。これが対称性のひとつのタイプだ。

中でも、コネクトームを理解する上では、さまざまなスケールでも対称性を保つ数学的構造「永続的な相同性」の探求が重要だとわかってきた。

神経学者は、特定の認知機能は、脳全体に分散されているさまざまな神経ノードを利用することにずっと気付いていた。コネクトームプロジェクトの中心的な疑問の1つは、これらのノードが白質でどう接続されているかだ。

神経学者が白質繊維を研究する方法は、繊維の長さに沿って、どう水を拡散するかを観察することだ。拡散経路は、「拡散スペクトルイメージング」によって明らかにでき、白質の構造を理解できる。

詳細に調べるため、サイズモア研究員は8人の健康な成人の脳を測定した。これにより、すべての脳に同じ構造を探せた。チームは特に、聴覚系や視覚系、接触、圧力、疼痛に関する体性感覚システムなど、認知システムに関わる脳の83の異なる領域間のリンクを観察した。

こうして配線図を構築したサイズモア研究者のチームは、構造の研究に代数的位相幾何学の手法を適用することで、いくつかの重要な洞察が生まれた。

まず特定のノードのグループは、グループ内の各ノードが他のすべてのノードに接続された「すべての対全接続している」状態でクリークと呼ばれる構造を形成していることが明らかになった。認知システムのすべては、異なる数のノードを含むのクリークで構成されている。

しかし、分析により、もうひとつの重要な位相構造のグループが明らかになった。この位相構造は「サイクル」と呼ばれる閉じたループで、最初のノードが次のノードに接続し、その次のノードがまた次のノードに接続していき、最後のノードは最初のノードに接続してサイクルが閉じている。

続きはソースで
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引用元: 【数学/脳科学】コネクトーム:脳の構造を代数的位相幾何学で理解できることが判明

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1: 2019/03/20(水) 19:55:04.06 ID:CAP_USER
【3月20日 AFP】
「数学のノーベル賞(Nobel Prize)」と呼ばれるアーベル賞(Abel Prize)の今年の受賞者に、米数学者のカレン・ウーレンベック(Karen Uhlenbeck)氏(76)が選ばれた。アーベル賞委員会のハンス・ムンテカース(Hans Munthe-Kaas)委員長が19日に発表した。賞金として600万クローネ(約7800万円)が授与される。

 偏微分方程式研究などの業績が評価されたウーレンベック氏は、初の女性受賞者。今なお男性中心の科学や数学分野での男女平等においても貢献した。

続きはソースで

(c)AFP

https://afpbb.ismcdn.jp/mwimgs/a/5/810x540/img_a51da8991cf0eb35162d1a69b94ed2b8140929.jpg

https://www.afpbb.com/articles/-/3216668
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引用元: 【数学】「数学のノーベル賞」と呼ばれるアーベル賞に初の女性、米ウーレンベック氏 偏微分方程式研究などが評価[03/20]

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1: 2019/03/15(金) 04:02:46.57 ID:CAP_USER
 米Googleは3月14日(米国時間)、「円周率の日」に合わせ、同社のクラウドコンピューティングサービス「Google Cloud」を用いて円周率を小数点以下約31兆4000億桁まで計算したことを発表した。2016年に記録されたこれまでの世界記録、約22兆4000億桁を9兆桁更新し、新たにギネス世界記録に登録された。

https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/14/ki_1609376_pi01_w390.jpg

 計算には、Google Cloud上の96個のvCPU(仮想CPU)と1.4テラバイトメモリを用意してクラスタを構築。計算結果の書き込みには1ノード10テラバイトのインスタンスを24個用意し、最大170テラバイトまで利用した。

https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/14/ki_1609376_pi02_w290.jpg
https://image.itmedia.co.jp/news/articles/1903/14/ki_1609376_pi03_w290.jpg

続きはソースで

ITmedia NEWS
https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1903/14/news148.html
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引用元: 【数学】Google、円周率計算31兆桁達成 世界記録更新[03/14]

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1: 2019/03/12(火) 15:25:01.07 ID:CAP_USER
中学入試で方程式は使っちゃダメ……? 中学受験をする小学生たちの周辺で、そんな説がまことしやかに語られています。「理解が困難」「小学校で習わないから」と理由も様々ですが、果たして実際はどうなのか。謎を追うと、一部の教室でおこなわれる窮屈な指導法の問題と、学びの自由とでもいうべき深いテーマに行き着きました。

■「算数に弊害」塾、消極的

「お子さんに方程式は教えないでください」。昨秋、東京であった進学塾の説明会。小3の男児を持つ会社役員の男性(43)は首をかしげました。自身も中学受験経験者ですが、中学で方程式を学んだ時、その便利さに感激。「小学校の時、塾でやらされた無駄にややこしい解き方は何だったんだ?」と思い、「自分の子が受験するなら教えよう」と思っていたからです。「教えてはダメという塾の説明は分かりづらく、内容も忘れてしまいました」

 文部科学省が学校教育の内容を定める学習指導要領では、方程式は中1の数学で初めて学びます。一方、進学塾が中学入試の問題を解くために教えるのは「鶴亀算」などの「特殊算」と呼ばれる手法。算数で習う足し算や掛け算を駆使しますが、それをどう組み合わせて使うかは学校で習わない、いわば受験算数です。

 「方程式は教えません。親御さんにも教えないよう頼みます。算数の学習に弊害が出るからです」。全国150教室をグループで運営する日能研の高木幹夫代表は、そう語ります。高木さんは方程式を学ぶ数学について「数を抽象化して考える科目。人数や金額、身長など、具体的でいわば『目に見える数』を扱う算数とは違う」と説明。その上で「経験上、小学生、特に4、5年生には抽象的なアプローチは難しい」と、方程式を学ばせない理由を語ります。

 実際、親に教えられた方程式を使って問題を解こうとし、「どこをどう間違えたかも分からない」ほど混乱する児童も多いそうです。そんな児童に「講師が説明を尽くしても、学びの深化に結びつきづらい」とも語りました。

 一方、同じ大手でも、関東中心に47教室を運営するサピックス小学部では、方程式を教える場合もあるそうです。「あくまで参考として、成績上位クラスだけにですが」と算数科教科責任者の立見貴光さんは説明します。立見さんによると、方程式によって解きやすくなる入試問題はごくわずか。他方、等式の概念や負の数など、方程式を使うのに理解が必要なものは意外に多いといいます。

 「そういうものを中学の授業で勉強して、そこに出てくるのが方程式。児童も時間をかければ使いこなせるでしょうが、中学受験に関しては、そこにあまり意味がありません」

 受験と関係なく方程式を勉強する児童もいます。児童生徒が学習プリントを使い自主的に学習を進める公文式教室。昨年9月時点で、算数で学ぶ内容を終えていた小6は全国で計約3万8千人。うち1万8千人は基本的な方程式を学ぶ中1数学も終えていたそうです。公文教育研究会の広報担当者は「意欲的な児童は方程式が解けるようになるケースも珍しくない。参考書などで数学の学習を更に深める児童もいます」と語りました。
https://www.asahicom.jp/articles/images/AS20190305004864_commL.jpg
■中学「ダメな理由ない」

 「方程式で入試問題を解いても、減点する中学はないのでは」。サピックスも日能研もこの点は一致します。が、方程式をタブーだと思う人々もいます。

 中学入試で「方程式は使用禁止」と記したコラムが3年前、ニューズウィーク日本版のウェブ版に載りました。筆者は米在住の作家、冷泉彰彦さん。「小学校の教育課程に入っていないから」と述べ、つまり小学校で習わないことを理由としています。冷泉さんに根拠を尋ねると、中学生や私立中学教師との対話などで知ったとのことでした。

 探すと、ある大手ネットメディアにも、東京の女子中学の受験事情を解説した記事に似た記述がありました。筆者のフリージャーナリストは、自身が中学受験の際に聞いたことなどを根拠に挙げました。

 では、当事者の私立中学側はどう考えているのでしょう。

 神戸市の私立・灘中学校の大西衡教頭は「方程式も正しければマル。正しいものをバツにする理由がない。児童が勉強を先に進めてはダメな理由もありません」と話します。

 東京の私立・巣鴨中は、受験生や保護者向けの説明会で「方程式を使ってもよい」と説明するそうです。入試担当の大山聡教諭は「しないとご質問が出ますので。使ってはダメ、と思っている一定数の親御さんはおられるのでは」と語ります。

 「説明会で方程式について尋ねる親御さんの話は割に聞きますが、『ダメ』と言われた話は聞きません」と話すのは、朝日小学生新聞で受験算数の連載をしていた算数専門の家庭教師、安浪京子さん(42)。「塾などで学んだ算数の解き方を学校で試して、怒られる児童は時折います。小学校では、勉強の『抜け駆け』を嫌う先生も少なくない。それで親御さんも、習っていない方程式はダメかも、と思うのかも」と想像します。

 実際、算数以外でも、児童が学校で習っていない知識の使用を禁じられるケースはあります。

 大阪市の会社員、須永直志さん(50)は3年ほど前、低学年だった次女の習字を見た際、本当は漢字で書ける名前が仮名交じりになっているのを見て、不思議に思いました。聞くと、「習っていない漢字は自分の名前でも使ってはダメ」と先生に指導されたといいます。「名前は個人のもの。学校で習った、習ってないで書き方を変えさせられるのは変に思います。文句を言おうとまでは思いませんが」と違和感を訴えます。

朝日新聞デジタル
https://www.asahi.com/articles/ASM310BFDM2XULZU014.html 

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引用元: 【数学】中学入試で方程式はダメ? ジュース47ダースは何本か 47×12は不正解の怪[03/11]

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1: 2019/02/12(火) 11:45:47.19 ID:CAP_USER
(CNN) ミツバチに訓練を施せば、足し算と引き算を学習できるとの研究結果が発表された。今回の発見が、脳の大きさとその処理能力の関係についてのよりよい理解につながる可能性がある。

オーストラリアのロイヤルメルボルン工科大学(RMIT大学)の研究者が科学誌サイエンス・アドバンシーズで研究結果を発表した。報告書の執筆者によれば、今回の発見が示唆するのは、数字に関するより深い理解は、これまで考えられていたよりも、非ヒト動物にとって把握しやすいものである可能性があるということだという。

多くの動物は、必要不可欠な作業のための基本的な水準の数字について理解している。しかし、これまで、足し算と引き算の能力を示した動物は、チンパンジーやヨウム、クモなど一部に過ぎない。今回の研究で、ここにミツバチが加わった。

RMITによれば、今回の研究が将来の人工知能の開発に役立つ可能性もある。

続きはソースで

https://www.cnn.co.jp/storage/2019/02/11/65029aa53d0b9c6b5f487815dcafab87/002-honeybees-math-study-diagram.jpg
https://www.cnn.co.jp/fringe/35132552.html
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引用元: 【生物】ミツバチ、訓練すれば足し算引き算できます 豪研究[02/12]

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