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整数

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1: 2018/09/15(土) 13:40:29.34 ID:CAP_USER
 慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔(博士課程 3 年)と松村英樹(博士課程 2 年)は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか?という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

 本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています(すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました)。

 
1.本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
 

2.研究背景
 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか?』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか?』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

 これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』(>>1、2)という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

続きはソースで

https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png

<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675

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引用元: 【数学】世界に1つだけの三角形の組 -抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学[09/12]

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1: 2016/03/19(土) 02:13:59.17 ID:CAP_USER.net
「数学のノーベル賞」アーベル賞の今年の受賞者に英数学者ワイルズが選ばれる
東亞日報 Updated March. 17, 2016 07:16
http://japanese.donga.com/Home/3/all/27/527858/1

「数学のノーベル賞」と言われているアーベル賞の今年の受賞者に、英数学者アンドリュー・J・ワイルズ(62、写真)が選ばれたと、ノルウェー科学・文学アカデミーが15日(現地時間)発表した。
アカデミー側は、ワイルズ教授が「半安定楕円曲線を巡るモジュラリティ定理」を通じて、「フェルマーの最後定理」を証明したことで、整数論の新しい時代を切り開いたと、選定理由を明らかにした。

「3次以上の自乗数を同じ次数の自乗数の和で表すのは不可能だ」というフェルマーの最終定理は、1637年に初めて出た後、ワイルズ教授が1993年に証明するまで、350余年の間数学者たちを悩ませてきた。
この定理を出したピエール・ド・フェルマー (1601?1665)は、小学校の算数のほかは、数学を学んだことのないフランス・トゥールーズ地方裁判所の裁判官だった。

ワイルズ教授は14歳の時、町の公共図書館で「最終定理は簡単に見えるが、300年以上解決できずにいる」という内容に偶然に接し、「フェルマ―定理」の解読を生涯目標に据えたことでも有名だ。
彼は定理を解きながら、他人と意見を交わせば、「最終定理の解結に取り組んでいる」という噂が流れることを懸念して、秘密裏に解読に打ち込んで、7年ぶりに解読した。

続きはソースで

ダウンロード

▽関連サイト
THE ABEL PRIZE
http://www.abelprize.no/

引用元: 【受賞】「数学のノーベル賞」アーベル賞 フェルマーの最終定理のアンドリュー・J・ワイルズが受賞

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