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証明

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1: 2018/10/06(土) 23:45:35.06 ID:CAP_USER
「今世紀最大の難問の一つ」とされ、約160年にわたって解かれていない数学の難問「リーマン予想」を、英国の数学者が「証明した」と発表し、数学ファンの中で「ビッグニュース」「本当か?」と話題になっている。

■リーマン予想とは

 ドイツの数学者リーマンが1859年に発表した数学の未解決問題。2、3、5、7……と無限に続く素数が、どのように分布しているか、という素数分布の謎の解明につながるとされる。「数の原子」とも呼ばれる素数の本質に迫れるため、今世紀最大の難問の一つに挙げられる。

■「おまけで解けた」

 発表したのは、英エディンバラ大名誉教授のマイケル・アティヤ氏(89)。「数学のノーベル賞」と言われるフィールズ賞やアーベル賞を受賞し、英王立協会会長も務めたことのある、世界で最も有名な数学者の一人だ。

 アティヤ氏の発表内容については9月20日、4日後にドイツで開かれる数学フォーラムでの講演に先立ち、主催者側がツイッターで「彼はリーマン予想の証明を発表するか? その通り、講演概要にそう書いてある」と予告。SNS上では「マジ? アティヤなら解きかねん」「ほんまかいな」と講演前から騒がれていた。

 講演でアティヤ氏は、ある物理定数を数学的に導出する過程で、リーマン予想を背理法を使って証明できると主張。「リーマン予想(の証明)はおまけ」とも語った。講演はユーチューブで生配信され、世界中で視聴された。講演が終わると会場からは拍手がわき起こった。5ページからなる証明論文も公開された。

 今回公表された論文以外に、全ての根拠を示した論文を、英王立協会が発行する科学誌に投稿したという。論文は公開されていない。証明が認められるのは、論文が複数の専門家による厳密な検証を受けてからになる。

続きはソースで

【関連記事】
【数学】人類史上最大の難問の一つ 「リーマン予想」 ついに解明か / 名乗り出たのはフィールズ賞受賞数学者マイケル・アティヤ氏

https://www.asahicom.jp/articles/images/AS20181005003697_commL.jpg

朝日新聞デジタル
https://www.asahi.com/articles/ASL9T42NNL9TULBJ004.html
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引用元: 【数学】〈続報〉超難問「リーマン予想」証明? 英数学者マイケル・アティヤ氏に懐疑的な声も[10/06]

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1: 2018/09/28(金) 10:48:15.61 ID:CAP_USER
東京工業大学(東工大)は、ペロブスカイトに類似した構造を持つ物質「Cs3Cu2I5」が青色発光し、その量子効率が90%以上あることを見出したと発表した。

同成果は、同大 科学技術創成研究院の細野秀雄 教授と元素戦略研究センターの金正煥 助教らによるもの。詳細は、独科学誌「Advanced Materials」に速報としてオンライン版に2018年9月14日付で公開された。

電子と正孔を電極から注入して発光層で再結合させて光らせるLEDは、照明だけでなくディスプレイ用途でも急速に実用化が始まっている。これらは発光層に有機分子を用いているが、その材料自体の寿命や、水や酸素との反応による発光特性の劣化が問題となっている。この問題を解決するために、半導体量子ドットやペロブスカイト系の発光材料の研究が世界的に活性化しつつある。

続きはソースで

■アはCs3Cu2I5の結晶構造(緑がCs、青がCu、紫がI)、イは伝導帯下端、ウは価電子帯上端の電荷密度
https://news.mynavi.jp/article/20180925-696131/images/001.jpg

■アは、Cs3Cu2I5単結晶の発光している試料写真。イは高分解能電子顕微鏡による原子配列像、ウは溶液法で作製された薄膜の発光(PL)および励起(PL)Eスペクトル
https://news.mynavi.jp/article/20180925-696131/images/002.jpg

■左上は開発した物質と黄色発光体を混合して作製された白色フィルム、右上は混合比に伴う色度の変化、左下は白色フィルムのPLスペクトル、右下はCs3Cu2I5を発光層に用いた青色発光ダイオード
https://news.mynavi.jp/article/20180925-696131/images/003.jpg

https://news.mynavi.jp/article/20180925-696131/
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引用元: 【物性物理学】東工大、有害元素フリーの高効率青色発光体を開発[09/25]

東工大、有害元素フリーの高効率青色発光体を開発の続きを読む

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1: 2018/09/28(金) 14:06:40.85 ID:CAP_USER
ときおり世間を騒がせる「○○が解明されたかも」系のニュース。例えば「ポアンカレ予想」や「フェルマーの最終定理」などは数学があまり好きではない人でも聞いたことがあると思う。

海外メディア「NewScientist」によると、これらの有名な難問と同様にとにかくヤバすぎるくらい難しい「リーマン予想」が159年の時を経て証明されたかもしれないとのこと。しかも名乗りを上げたのは89歳のおじいちゃんというから驚きだ! いったい彼は何者なのか……。

■数学界の神
実はこのおじいちゃん、ただのおじいちゃんではない。なんと「数学のノーベル賞」と呼ばれることもあるフィールズ賞と、これまた別の「数学のノーベル賞」と呼ばれるアーベル賞の両方を受賞しているマイケル・アティヤ氏。

1つ受賞しただけでも凄いのに、それを2つも受賞しているなんてヤバすぎる……。これはもう数学界の神といっても過言ではない。きっと筆者のようなおっさんとは見えてる世界も違うのだろう。

■証明はおまけ
今回の成り行きもただ者ではなく、アティヤ氏は別に「リーマン予想」の研究をしていて証明にたどり着いたわけではないという。難しすぎて詳細は理解不能だが、なんでも「微細構造定数」なる、物理学の分野で特に重要とされる数値を導く過程でおまけで証明したとのこと。

さらにスゴみを感じるのは「リーマン予想」の証明がたったの5ページというところ。普通この手の超難問の論文はめちゃくちゃ長く、確認どころか読むだけでも大仕事。例えば「ポアンカレ予想」は全3部構成で、参照込みの合計68ページだ。

■100万ドルの懸賞金
なお「リーマン予想」は、アメリカのクレイ数学研究所が100万ドル……日本円にして約1億1千万円の懸賞金をかけている7つの問題の内の一つ。1億円の価値があるほどに重要かつ難しい問題ということだが、当然挑戦者も多い。

続きはソースで

https://d1o50x50snmhul.cloudfront.net/wp-content/uploads/2018/09/21090024/aahxh591.jpg

参照元:NewScienteist、EveningStandard、リーマン予想の証明、ポアンカレ予想[1]、[2]、[3] (英語)
https://www.standard.co.uk/news/uk/has-the-riemann-hypothesis-been-solved-who-is-michael-atiyah-a3944486.html
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/#.W6l4nF6LAG9.twitter

https://rocketnews24.com/2018/09/26/1119979/
ダウンロード (4)


引用元: 【数学】人類史上最大の難問の一つ 「リーマン予想」 ついに解明か / 名乗り出たのはフィールズ賞受賞数学者マイケル・アティヤ氏[09/26]

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1: 2018/09/15(土) 13:40:29.34 ID:CAP_USER
 慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔(博士課程 3 年)と松村英樹(博士課程 2 年)は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか?という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

 本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています(すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました)。

 
1.本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
 

2.研究背景
 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか?』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか?』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

 これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』(>>1、2)という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

続きはソースで

https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png

<原論文情報>
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675

images


引用元: 【数学】世界に1つだけの三角形の組 -抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学[09/12]

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1: 2018/03/13(火) 05:33:27.66 ID:CAP_USER
人間の心理を研究する心理学に対しては、専門家に限らず一般人にも興味を抱く人は多いものです。
心理学の分野では多くの入門書が出版され、ベストセラーになった本も多く存在しますが、「アメリカでベストセラーになっている多くの心理学入門書に誤りが含まれていた」という調査結果が明らかになりました。

Best-selling introductory psychology books give a misleading view of intelligence – Research Digest
https://digest.bps.org.uk/2018/03/08/best-selling-introductory-psychology-books-give-a-misleading-view-of-intelligence/

ユタ・バレー大学の研究者たちは、アメリカで最も有名な心理学入門書のベストセラー29冊について分析しました。
その結果、大学の教科書にも使用されているこれらの入門書のうち、実に4分の3にあたる書籍に科学的誤解を招く致命的な誤りが含まれていると結論づけました。

研究グループのウォーン氏らによると問題のあった書物には、合計で43件の不正確な記述、正確性に疑問のある129件の記述、論理的に間違っている51件の記述が含まれていたとのこと。
「これらの書物を使うことで、心理学の入門者に誤った科学的知識を植えつける可能性がある」としています。

多く見られた誤りとして、ハワード・ガードナー氏による「多重知性理論」に言及したものが93%、そしてロバート・スターンバーグ氏が提唱した「知能の鼎立理論」に言及したものが89%にのぼったとのこと。
いずれも「知性」を複数に分割しようと試みた理論ですが、これらは学会の主流でもなければ科学的な確証もない
https://i.gzn.jp/img/2018/03/12/psychology-books-mislead-intelligence/01_m.jpg

ウォーン氏によると問題のあった書物に多く見られた誤りは、「知能は正確には測定不可能だ」というものでしたが、ウォーン氏によると知能の測定は他の心理学的事実を証明するより簡単だそうです。

続きはソースで

GIGAZINE
https://gigazine.net/news/20180312-psychology-books-mislead-intelligence/
ダウンロード


引用元: 【心理学】多くの心理学入門書には学問的に誤った内容が記載されている[03/12]

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1: 2018/03/06(火) 17:30:50.98 ID:CAP_USER
2022年度から施行される新指導要領の案が公開され、高校の数学教育に携わる人々に激震が走っている。
最も衝撃的なのは、統計学が数学B(高校2年、理文共通)において事実上必修化され、その割を食ってベクトルが数学C(高校3年、理系のみ)にはね飛ばされる、という変更点だ。
数学Bで必修化される統計学とは、「仮説検定」や「区間推定」などの「統計的推定」と呼ばれる方法論である。
これは小学校や中学校の統計の授業では学ばない、統計学の核心といって良い部分だ。
これまで普通は大学に入ってから学ぶものだった。

 これについて、批判点は二つある。第一は、ベクトルが理系のみの学習で良いのか、という点。
第二は、統計学を数学で必修化するのは正しいか、という点。
筆者の意見では、第二の点は大問題であり、その意味で第一の点にも批判的とならざるを得ない。

■数学は「演繹的」、統計学は「帰納的」

 ベクトルというのは、2次元や3次元の数を扱う代数の方法論だ。
確かに、経済学でもベクトルは必須の道具であるから、文系も学習したほうがいいという意見には同意できる。
しかし、ベクトルの計算自体は、そんなに難しいものではなく、大学生になってから教わっても障壁が大きいわけではない。
むしろ、文系の高校生が数学という抽象的分野の中で教わるより、大学の経済学において、経済現象という具体的なモデルをもって教わるほうがイメージよく理解できるように思える。

 だから、文系にとってもっと有益な分野があるなら、ベクトルを排除しても仕方ないが、統計学にはその価値はない。なぜなら、統計学は決して数学ではないからだ。

 数学は「演繹(えんえき)的」な理論である。
これは、仮定から結論を、数理論理(「かつ」「または」「ならば」「でない」「すべて」「存在する」から展開される論理)だけで導く学問である。
だから、数学で証明された法則(定理)は常に正しい(真である)。
たとえ話で言えば、「すべてのカラスは黒い」を前提として、「だから、このカラスは黒い」を導くのが「演繹」である。

 かたや、統計学は「帰納的」な理論である。
これは、観測された現象から「たぶんこうだろう」という推論を導く技術だ。
言い換えると、経験的な推論を行う理論である。
カラスのたとえで言えば、「これまで見たカラスは黒かった」を前提として、「だからきっと、カラスというのはみんな黒いのだろう」という推論を行うのが「帰納」である。
したがって、統計学の結論では間違い(偽であること)が必然的に起きる。

 このように数学と統計学は全く異なる性質の論理なのである。

続きはソースで

関連ソース画像
http://img.chess443.net/S2010/upload/2018022700003_1.jpg

WEBRONZA - 朝日新聞社の言論サイト
http://webronza.asahi.com/science/articles/2018022700003.html/
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引用元: 【統計学】高校数学での統計学必修化は間違っている まったく異なる原理を持つ「数学」と「統計学」[03/05]

高校数学での統計学必修化は間違っている まったく異なる原理を持つ「数学」と「統計学」の続きを読む
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