慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔（博士課程 3 年）と松村英樹（博士課程 2 年）は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。

　線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか？という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

　本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

　本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています（すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました）。

　
１．本研究のポイント

・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
　

２．研究背景
　線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか？』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか？』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。

　これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』（>>1、2）という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。

続きはソースで

https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png

＜原論文情報＞
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675

あらゆる料理法の根底には物理法則が眠っている……ということで、「ピザを焼く時に、伝統的なレンガ造りのピザ焼き窯と今時の電気オーブンでどのような違いが生まれるか」について熱力学的に分析した論文が論文投稿サイトarXivにアップロードされています。

The Physics of baking good Pizza
https://arxiv.org/abs/1806.08790

昔ながらのピザ焼き窯と今時の電気オーブンとの違いを分析する上で見逃せないのが熱の伝わり方です。
例として、熱を出した子どもに母親がおでこをあてるシーンを考えてみます。

下図は子どもに母親がおでこをあてている時の熱の様子を表したグラフです。
横軸は子どもと母親が触れ合っている面からの距離を表しており、真ん中の0の位置の縦線が触れ合っている境界面で、赤い左半分が子どものおでこ、青い右半分が母親のおでことなっています。
縦軸は温度で、38℃の子どものおでこと、36℃の母親のおでこをくっつけた境界線部分は37℃(T0)になっています。
おでこをくっつけて0.1秒後の温度分布を表す紫の線はおでこをくっつけた部分でほぼ垂直になっており、子どもと母親で体温が明確に違うことがはっきりと表されています。
一方、60秒後を表す黄色い線はなだらかになっており、子どものおでこがだんだん冷やされ、反対に母親のおでこはだんだん温まっていることが表されています。


母親のおでこが鉄でできていると仮定するとグラフは以下のような感じに。
今度はおでこをくっつけた点の温度が36.3℃に下がっています。
これは鉄の熱伝導率が高く、効率的に子どものおでこから熱を引き出すことができるためです。


対象物1単位を1℃上昇させるのに必要な熱量のことを熱容量と呼びます。
SI単位系ではJ/kg・Kと表記されます。熱容量は以下の式で表されます。
cが熱容量で、Qは熱量、Mは対象物の質量、Tは温度を表します。
Δは変化量を表す記号で、ΔQ/ΔTでTを1単位変化させるためのQの量という意味になります。
c=ΔQ/MΔT

また、以下の式は熱のやりとりを表すもの。Sは面積、tは時間を表しています。
q=ΔQ/SΔt

2つのものの間で熱がやり取りされるとき、そのやり取りの単位時間・単位面積あたりの熱量のことを熱流束(q)と呼び、W/㎡という単位で表します。
なお、Mの計算に出てくるρは質量密度を表しています。


また、熱伝導による熱の移動のしやすさは熱伝導率と呼ばれ、W/mKという単位で表されます。
今回はこの熱伝導率をκという文字で表します。
こうした熱伝導の式から温度がT1の物体からT2の物体へ伝わる時の境界の温度(T0)が以下のように計算できます。
T0 = T1+ν21T2 / 1+ν21

上の式に出てくるν21は以下の式で表されるもので、「1」の物質から「2」の物質へ温度が伝わる際の境界の温度を求めるのに使用します。ここで、χは温度拡散率を表します。
ν21 = κ2 sqrt(χ1) / κ1 sqrt(χ2) = sqrt(κ2c2ρ2 / κ1c1ρ1)

下の表はピザ生地と鉄、レンガ、水それぞれの熱容量、熱伝導率、質量密度、温度拡散率、
ν21を並べたもの。ν21については、ピザ生地・鉄・レンガは「2」がピザ生地で、水は「1」が鉄として計算されています。

続きはソースで

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GIGAZINE
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太陽光や風力といった自然エネルギー（再生可能エネルギー）は「自然にやさしい」というイメージがあります。しかし太陽光や風力は、水力発電と同じ電力量を生み出すのに、水力発電所の5倍の面積が必要だといいます。それは「エネルギー密度」が低いからです。筑波大学の掛谷英紀准教授は「高校までの知識で、自然エネルギーのウソは容易にわかる」といいます――。（第2回、全4回）

■大多数の人が知らない「自然エネルギーが自然を破壊する」

今回の話題は、「電気の未来」というタイトルで、大学のオープンキャンパスや高校での出前講義などの機会に、理系の高校生を相手に何度も話してきたものです。基本的に高校レベルの話ですし、普段高校生相手に話す内容に比べるとかなり平易にしています。

まず、講義で必ず聞くクイズを紹介しましょう。

福島第一原発の事故の後、「これからは自然エネルギーの時代」だと言われていますが、なかなか普及しません。それはどうしてでしょうか？

A　研究予算が足りないから
B　電源として不安定だから
C　自然を破壊するから
D　原理的に無理だから

Aを選ぶ人はテレビの見すぎです。お金があれば何でも解決するという考えは、技術を知らない人の発想です。

理系の高校生の大多数はBを選びます。Bは半分正解です。たしかに、太陽光発電や風力発電のように、気象条件で出力が大きく変化する、電源として不安定な自然エネルギーもあります。

しかし、その一方で水力発電や地熱発電のように電源として安定している自然エネルギーもあります。もし電源の不安定性だけがネックなら、水力発電と地熱発電はもっと普及するはずです。

答えはCなのですが、正解できる人は少数です。自然エネルギーが自然を破壊するという発想は、テレビや新聞だけが情報源の人からは全く出てこないでしょう。

それでも水力発電の話をすれば、自然破壊とのリンクが見えてくるのではないでしょうか。今でこそ話題にならなくなりましたが、民主党政権時代、八ッ場ダム建設反対で盛り上がっていたことはまだ記憶に残っていると思います。当時、ダムは自然破壊の象徴でした。水力発電のためにダムをつくることは、確かに大規模な自然破壊につながります。

■風力発電と太陽光発電は水力発電の5倍の開発面積を必要とする

では、自然エネルギーによる発電に大規模な自然破壊が伴うのはどうしてでしょうか？　その謎を解くため、講義で聞くクイズをもう一つ紹介します。

火力発電で重油を1立方メートル燃やして得られるのと同じだけのエネルギーを、高さ100メートルのダムを使った水力発電で得るには、何立方メートルの水が必要でしょうか？

これを知識として知っている人はほとんどいないので、講義では直感で答えてもらっています。今までの講義では10倍から100倍、つまり10立方メートルから100立方メートルといった答えが最も多いです。たまに1000倍といった回答もあります。しかし、実はそれでも全然足りません。

正解は「約4万立方メートル」です。この数値は高校で習う物理と化学の知識を使って計算することができます。

水力発電で得られるエネルギーは、高校の物理で習う位置エネルギーから計算できます。位置エネルギーは＜質量×重力加速度×高さ＞で表されます。水1立方メートルの質量は1000 kgです。重力加速度は9.8m／s／sです。今、ダムの高さは100mと仮定しています。これらの数字を掛け合わせると、98万J（ジュール）、すなわち0.98MJ（メガジュール）となります。

一方、重油1立方メートルを燃やしたときに得られるエネルギーは、化学の燃焼熱（反応熱）の考え方で求めることができます。詳細な計算は省略しますが、得られる結果は3万9000MJです。

よって、これと同じエネルギーを得るには約4万立方メートルの水が必要になるわけです（なお、これらの計算は全て変換効率100％、すなわち、もとのエネルギーが全て電気エネルギーに変換される場合での比較です）。

続きはソースで

http://president.jp/articles/-/25265

氷上を滑り速さを競うスピードスケートなど、氷の上で行われるウインタースポーツは多いものです。
しかし、意外なことに「なぜ氷の上で滑るのか？」というメカニズム自体はこれまで解明されていませんでした。
ついに、マックスプランク・ポリマー研究所の研究者が古くからの謎を解明しています。

Molecular Insight into the Slipperiness of Ice - The Journal of Physical Chemistry Letters (ACS Publications)
https://pubs.acs.org/doi/10.1021/acs.jpclett.8b01188

The slipperiness of ice explained -- ScienceDaily
https://www.sciencedaily.com/releases/2018/05/180509121544.htm

「スケート靴のブレードが氷の上でなぜ滑るのか？」という疑問に対する古くからの通説的な見解は、
刃が氷を押し付けるときに高まる圧力によって氷が融けるからというもの。
「固体(氷)が液体(水)よりも密度が低い」という水の持つ珍しい特性から、氷に圧力が加わるとそれを逃がす方向で、密度の高い液体の水に変化するという熱力学的なメカニズムが働き、氷から変化してできた水によって滑るというわけです。
しかし、この考えではブレードではない靴底のような接地面積が広く比較的圧力が小さな状態でも滑ってしまうことを説明することができません。

「なぜ氷の上は滑るのか？」という疑問を解決する研究を行ったのは、マックスプランク・ポリマー研究所の永田勇樹博士らの研究チーム。
研究チームは、氷の表面上に薄くできる「層」の構造に注目し、氷が滑るときにこの層がどのように変化するかを調べました。

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関連ソース画像
https://i.gzn.jp/img/2018/05/23/slipperiness-of-ice/a01_m.png

GIGAZINE
https://gigazine.net/news/20180523-slipperiness-of-ice/